真理の前には自由者も束縛される [ JRF の私見：雑記 ]

2007年9月24日 (月)

真理の前には自由者も束縛される

N を自然数の集合とする。任意の x ∈ N について x ＜ Y なる Y ∈ N、すなわち

Y ∈ N ∧ (∀x. x ∈ N → x ＜ Y)

なる式を満たすように自由変数 Y に代入をすることはできない。Y ∈ N だけを満たすのは 1 でも 2 でも可能である。しかし、特定の n ∈ N が任意の x について x ＜ n とすると n + 1 ∈ N についても n + 1 ＜ n となり矛盾する。Y に代入できるような n は存在しない。上式を仮定すると矛盾が導けるということだ。すなわち、

¬(∃Y. Y ∈ N ∧(∀x. x ∈ N → x ＜ Y))。

最初の式において x は Y を束縛しているわけではない。あえていえば、式が真でなければならないという条件が、Y を束縛するわけだ。

しかし、Y を少し変えた

Y ∈ N→N ∧ (∀x. x ∈ N → x ＜ Y(x))

なる式を満たすような自由変数 Y (関数をとる変数)への代入は無数にあり、たとえば Y = (λz. z + 1) などにすれば良い。すなわち、

(∃Y. Y ∈ N→N ∧(∀x. x ∈ N → x ＜ Y(x)))。

まとめよう。なんつーか。こういうまとめかたすると害悪のほうが大きいのだが、過去の私のように、数学(ラムダ計算)を学び一般に「自由」を「束縛がないこと」と捉えてしまっている者の更なる１ステップのために言ってしまおう。

目に見える束縛(x)からの自由者(Y)であっても自由でないことは多い。だが希望を捨てるべきではない。目に見える束縛(x)を「読める」ような高階の自由者(Y(x))は真理という「束縛」にも、より自由となる。

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参考

●	あまり関係はないけど、この記事を書く発端となった記事：《novtan別館：自由。》。
●	「自由」に関し、私の違った視点による記事：《JRFの私見：税・経済・法：「自由と平等」のレトリック》、《JRF の私見：宗教と動機付け：自由意思と神の恩寵》。
●	この記事に興味のある方にオススメの私の記事：《JRF の私見：雑記：呪術的オブジェクト指向用語訳》。