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2007年9月24日 (月)

真理の前には自由者も束縛される

N を自然数の集合とする。任意の x ∈ N について x < Y なる Y ∈ N、すなわち

Y ∈ N ∧ (∀x. x ∈ N → x < Y)


なる式を満たすように自由変数 Y に代入をすることはできない。Y ∈ N だけを満たすのは 1 でも 2 でも可能である。しかし、特定の n ∈ N が任意の x について x < n とすると n + 1 ∈ N についても n + 1 < n となり矛盾する。Y に代入できるような n は存在しない。上式を仮定すると矛盾が導けるということだ。すなわち、

¬(∃Y. Y ∈ N ∧(∀x. x ∈ N → x < Y))。


最初の式において x は Y を束縛しているわけではない。あえていえば、式が真でなければならないという条件が、Y を束縛するわけだ。

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2007-09-24 18:20:06 (JST) in ストーリー, 教育, 論理学 | | コメント (1) | トラックバック (0)