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ニューラルネットワークに関するブレインストーミング。ほんとに妄想なので他の人が読む意味はないが、いちおう前から気になってた「アイデア」なので、一度、ネットに書き出しておく。 (JRF 4301)

JRF 2023年9月26日 (火) Tweet

(Bard さんとの会話にして保存しておく。Bard さんの会話はいろいろはしょってある。)

JRF2023/9/269464

……。

jrf> ちょっとだけニューラルネットワークに関するブレインストーミング＝妄想をします。お付き合いください。感想やアイデアを述べていただけるとありがたいです。

Bard> かしこまりました。どうぞお付き合いさせていただきます。

JRF2023/9/262472

jrf> ニューラルネットワーク(パーセプトロン)において1段では XOR を表現できない。しかし、2段にすると表現できる。私は誤解していたのだが、表現できたとしても冗長性は失われると考えていたが、そうではなかった。誤解を前提でいくと、さらに多段にして無限段に近づくことで、冗長性も生まれてくるのではないかと考えていた。そうではなかった。

その場合、行列の要素数を増やし、さらに必要なら演算を工夫するという方向で、冗長性が得られないかとも考えていた。

JRF2023/9/262041

ただ、深さに応じて、表現できない関係が出てくることだけは確実で、それを１段増やせば表現できるということなのだろうか？

JRF2023/9/262165

Bard2> ニューラルネットワークの冗長性については、まだ十分に理解されていない部分が多いと感じています。

深さに応じて、表現できない関係が出てくることは、確実です。しかし、1段増やすことで、その関係を表現できるようになるかどうかは、必ずしもそうではありません。

例えば、3段のパーセプトロンで表現できる関係でも、4段のパーセプトロンで表現できない関係が存在する可能性があります。

JRF2023/9/268220

jrf> ｎ段では表現できるけれどもｎ＋１段では表現できなくなる関係とか知られてるんですか？

Bard1> はい、知られております。

例えば、以下のような関係は、2段のパーセプトロンで表現できますが、3段のパーセプトロンで表現することはできません。

f(x) = x^n

JRF2023/9/262223

jrf> x^n はなるほどです。あとは今度考えることにします。

Bard> 承知しました。

(…と jrf は書いたものの、結局理解していないことが後から考えてわかった。どういうこと？…)

JRF2023/9/266919

jrf> ニューラルネットの各要素がたまたま同じことを学習することはあるはずである。XOR に冗長性を増やすような特殊な演算などを使うことで、それを減らせないか。

Bard3> はい、その可能性は考えられます。

ニューラルネットワークの各要素がたまたま同じことを学習してしまうのは、学習データに冗長性があるためです。

例えば、以下のような演算が考えられます。

入力にノイズを加える
学習データから冗長な情報を削除する
学習アルゴリズムを変更する

JRF2023/9/266510

jrf> そもそもニューラルネットの各要素がたまたま同じことを学習することを減らす手法はすでにあるはずです。どのようなものがありますか。

Bard> 具体的には、以下のような方法が考えられます。

正則化の一種である L1 正則化や L2 正則化を使う
ドロップアウトを使う
データオーグメンテーションを使う
ReLU 関数などのアクティベーション関数を使う

JRF2023/9/266373

jrf> sin(x) をテイラー展開すると無限数列になるように、ニューラルネットのなかでは無限の系列が、多段の行列のいくつかの要素として現れ、実際はその無限の要素の演算のため、意志の「奇跡」が起こっているのではないか？ ドロップアウトなどのランダム要素が入ることで、無限の何かが表現されている可能性が高まっているようにも私は思うが、しかし、ランダム要素がない行列積などでも、そういうことは起こっている気がする。

JRF2023/9/261168

Bard> はい、その可能性は考えられます。

ニューラルネットワークは、学習データからパターンを学習します。このパターンは、有限の要素から構成されている場合もありますが、無限の要素から構成されている場合もあります。

また、意志も、無限の要素から構成されている可能性があります。例えば、意志は、過去の経験や現在の状況など、さまざまな要素から影響を受けます。

JRF2023/9/260374

そのため、ニューラルネットワークが意志を表現するためには、無限の要素を表現できる必要があります。

ドロップアウトなどのランダム要素は、ニューラルネットワークの冗長性を減らすために使用されます。しかし、一方で、無限の要素を表現する可能性を高める可能性もあります。

JRF2023/9/260646

例えば、ドロップアウトによって、ニューラルネットワークが学習するパターンがランダムに変化します。これにより、ニューラルネットワークは、さまざまなパターンを学習する可能性が高まり、無限の要素を表現できる可能性が高まると考えられます。

ランダム要素がない行列積でも、無限の要素を表現する可能性はあります。例えば、行列積によって、入力データのさまざまなパターンを表現することができます。このパターンは、無限の要素から構成されている可能性があります。

JRF2023/9/263494

このように、ニューラルネットワークは、無限の要素を表現する可能性を秘めていると考えられます。この可能性をさらに研究することで、ニューラルネットワークの性能をさらに向上させることができると考えられます。

JRF2023/9/263944